まさか、3分の1=2分の1?ベイズ定理の入り口に最適なモンティ・ホール問題。

すぐに役立つ(ライフハック・実践・知識), そのうち使って欲しい(おすすめ・習熟・学習)

これを面白いと思えるかどうかは、センスなんだなあ。

モンティ・ホール問題

閉まった3つのドアのうち、当たりは1つ。

例示のように1つのドアが外れとわかった場合、直感的には残り2枚の当たりの確率はそれぞれ1/2になるように思える。

モンティ・ホール問題 wikipediaより

ってことなんですが、わかりますか?

補足すると、

①3つの中身がわからない遮蔽物の向こうに一つだけあたりがある。

②この時、あたりを選べる可能性は3分の1

③次に一つだけ扉を選ぶとハズレでした。

④残った二つの扉にあたりがある確率は2分の1?

って問題ですわ。

わかるよね?

元凶

「プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。

ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。プレーヤーはドアを変更すべきだろうか?」

1990年9月9日発行、ニュース雑誌 Parade にて、マリリン・ボス・サヴァントが連載するコラム「マリリンにおまかせ」において上記の読者投稿による質問に

「正解は『ドアを変更する』である。なぜなら、ドアを変更した場合には景品を当てる確率が2倍になるからだ」と回答した。

すると直後から、読者からの「彼女の解答は間違っている」との約1万通の投書が殺到し、本問題は大議論に発展した。

モンティ・ホール問題 wikipediaより

一万通とは、みんな数学好きであるな。

さて、正しいのは

読者?

それとも

ミズ・マリリン?

数学の根源の扉を叩こう

彼女の答えは、ある意味で、単純明快で、とてもわかりやすいものだと言える。

ポイントも明快。

ルール・情報を知っているかどうかが、確率を変動させうるということだ。

「乗っかってる確率」は、普通同じ。

だから、各扉に乗っかってる確率は変わらないと?

いやいやいや。

一見不思議だけども、面白いぞーこれ。

わかりやすーい解説

理解と納得のポイントは、一つ。

「扉に乗っかってる確率が違う」って受け入れられるかどうか。

それが全て。

まず初期条件。最初は全ての扉の後ろにあたりがある確率は、3分の1。なのは、正しい。

で、一つを選ぶ。そこにある確率は3分の1やろ。

だから、残りの2つの扉のどちらかにある確率は3分の2やろ。(3分の1たす3分の1やし、もしくは1引く3分の1でもええやろ?)

で、次に、司会者がその二つのうちのどちらかを開けるのね。

そしたら、最初に選んだほうの扉の確率は3分の1のままやね。

だから、残りの司会者が開けなかった方の扉にある確率は3分の2やで。

余計なことは考えんでええ。

これが全てや。

これがモンティ・ホール問題やねん。

以上。

納得した?

wikipediaにはこうある。

この問題を巡る人々の反応は、冒頭のエピソードにある様に『どちらを選んでも変わらない』とする意見が多かった。

モンティ・ホール問題 wikipediaより

ちゃんと理解した人には、この記事の一番上に書いてある内容は、実は厳密じゃないことが、わかったと思う。

ポイントになるのが、

①一旦ちゃんと扉を選んでおいて、

②その後で、選んでない2つの扉のうちハズレの扉がオープンになって、

③選び直すことができる。

ってことがわかってたら完璧da

一万人の人(数学者含む)は、それが分からなかった。

逆になぜ分からない?

エピソードを情報として処理できなくて、最終的な状況、つまりは「2つの扉のうちのどちらかに正解がある」としか考えられなかったからだ。

そりゃ、2つの扉のどちらか1つの後ろにアタリがあるって聞いたら、普通は2分の1と考えるよねえ。

だけども、最初に選んだ扉の後ろにある確率は3分の1。

ということをブレずにわかっていれば、少なくとも2分の1じゃないことはわかる。

でも人間の直感はそれを否定する。

人間の直感は、だいたい正しくて生活をスムーズにしてくれる。

だけども、この場合は人間の直感が間違っている。

そういう直感のずれが、一万人もの人々を行動に駆り立てたのですわ。

この記事のまとめ

直感は人間を動かすが、それは常に正しいとは限らない。

特に確率論が、勝ち負けに関わってくるような、ギャンブルとか投資とかに関わる人はね、そのことを知ってないと破滅する。政治も経営もある意味でギャンブルな訳で。

だから人間は学ばないといけないんですね。

知ってる情報が、確率に影響を与えるという事実を知ってるだけでちょっと慎重になれるかも。

今回の記事を、面白いと思ってもらえたら、例えば、ベイズ定理を勉強してもらえると嬉しい。すると、人を導ける人が増える。でしょ?


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